判別式法求函數值域（求函數值域）

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1、在函數的三要素中,對于如何求函數的值域,是學生感到頭痛的問題,它所涉及到的知識面廣,方法靈活多樣,在高考中經常出現,占有一定的地位,若方法運用適當,就能起到簡化運算過程,避繁就簡,事半功倍的作用.本文就函數值域求法歸納如下.1,直接觀察法對于一些比較簡單的函數,其值域可通過觀察得到.例1 求函數y=3-的值域.解: 0 - 0 3- 3故函數的值域是:[-∞,3] 2,配方法配方法是求二次函數值域最基本的方法之一.例2,求函數y=-2x+5,x[-1,2]的值域.解:將函數配方得:y=(x-1)+4,x[-1,2],由二次函數的性質可知:當x=1時,y =4當x=-1,時=8故函數的值域是:[4,8] 3,判別式法例3 求函數y=的值域.解:原函數化為關x的一元二次方程(y-1)-x+(y-1)=0(1)當y≠1時,xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1) 0解得:y(2)當y=1,時,x=0,而1[,]故函數的值域為[,]例4求函數y=x+的值域. 解:兩邊平方整理得:2-2(y+1)x+y=0(1)xR,△=4(y+1)-8y0解得:1-y1+但此時的函數的定義域由x(2-x)0,得:0x2.由△0,僅保證關于x的方程:2-2(y+1)x+y=0在實數集R有實根,而不能確保其實根在區間[0,2]上,即不能確保方程(1)有實根,由△0求出的范圍可能比y的實際范圍大,故不能確定此函數的值域為[,].可以采取如下方法進一步確定原函數的值域.0x2,y=x+0,=0,y=1+代入方程(1),解得:=[0,2],即當=時,原函數的值域為:[0,1+].注:由判別式法來判斷函數的值域時,若原函數的定義域不是實數集時,應綜合函數的定義域,將擴大的部分剔除.4,反函數法直接求函數的值域困難時,可以通過求其原函數的定義域來確定原函數的值域.例5 求函數y=值域.解:由原函數式可得:x=則其反函數為:y=其定義域為:x≠故所求函數的值域為:(-∞,)5,函數有界性法直接求函數的值域困難時,可以利用已學過函數的有界性,反客為主來確定函數的值域.例6 求函數y=的值域.解:由原函數式可得:=>0,>0 解得:-1 7,換元法通過簡單的換元把一個函數變為簡單函數,其題型特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型.換元法是數學方法中幾種最主要方法之一,在求函數的值域中同樣發揮作用.例9 求函數y=x+的值域.解:令x-1=t,(t0)則x=+1∵y=+t+1=+,又t0,由二次函數的性質可知當t=0時,y=1,當t→0時,y→+∞.故函數的值域為[1,+∞) 8 數形結合法其題型是函數解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離公式直線斜率等等,這類題目若運用數形結合法,往往會更加簡單,一目了然,賞心悅目.例10 求函數y=+的值域.解:原函數可化簡得:y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成數軸上點P(x)到定點A(2),B(-8)間的距離之和.由上圖可知:當點P在線段AB上時,y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10當點P在線段AB的延長線或反向延長線上時,y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10故所求函數的值域為:[10,+∞]例11 求函數y=+ 的值域解:原函數可變形為:y=+上式可看成x軸上的點P(x,0)到兩定點A(3,2),B(-2,-1)的距離之和,由圖可知當點P為線段與x軸的交點時, y=∣AB∣==,故所求函數的值域為[,+∞].例12 求函數y=-的值域解:將函數變形為:y=-上式可看成定點A(3,2)到點P(x,0)的距離與定點B(-2,1)到點P(x,0)的距離之差.即:y=∣AP∣-∣BP∣由圖可知:(1)當點P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點時,如點P ,則構成△ABP ,根據三角形兩邊之差小于第三邊,有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣<∣AB∣== 即:-(2)當點P恰好為直線AB與x軸的交點時, 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= .綜上所述,可知函數的值域為:(-,-). 注:由例11,例12可知,求兩距離之和時,要將函數式變形,使A,B兩點在x軸的兩側,而求兩距離之差時,則要使兩點A,B在x軸的同側.如:例17的A,B兩點坐標分別為:(3,2),(-2,-1),在x軸的同側;例18的A,B兩點坐標分別為:(3,2),(2,-1),在x軸的同側.總之,在具體求某個函數的值域時,首先要仔細,認真觀察其題型特征,然后再選擇恰當的方法,一般優先考慮直接法,函數單調性法然后才考慮用其他各種特殊方法.。

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