拉普拉斯方程的極坐標形式 拉普拉斯方程

1、拉普拉斯方程表示液面曲率與液體壓力之間的關系的公式。

【資料圖】

2、一個彎曲的表面稱為曲面，通常用相應的兩個曲率半徑來描述曲面，即在曲面上某點作垂直于表面的直線，再通過此線作一平面，此平面與曲面的截線為曲線，在該點與曲線相重合的圓半徑稱為該曲線的曲率半徑R1。

3、通過表面垂線并垂直于第一個平面再作第二個平面并與曲面相交，可得到第二條截線和它的曲率半徑R2，用 R1與R2可表示出液體表面的彎曲情況。

4、若液面是彎曲的，液體內部的壓力p1與液體外的壓力p2就會不同，在液面兩邊就會產生壓力差△P= P1- P2，其數值與液面曲率大小有關，可表示為： 　　在數理方程中，拉普拉斯方程為：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中△為拉普拉斯算子，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。

5、三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變量x、y、z二階可微的實函數φ ：　　上面的方程常常簡寫作：　　或　　其中div表示矢量場的散度（結果是一個標量場），grad表示標量場的梯度（結果是一個矢量場），或者簡寫作：　　其中Δ稱為拉普拉斯算子.　　拉普拉斯方程的解稱為調和函數。

6、　　如果等號右邊是一個給定的函數f(x, y, z)，即：　　則該方程稱為泊松方程。

7、 拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型偏微分方程。

8、偏微分算子或Δ（可以在任意維空間中定義這樣的算子）稱為拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或簡稱作 Laplacian。

9、　　拉普拉斯方程的狄利克雷問題可歸結為求解在區域D內定義的函數φ，使得在D的邊界上等于某給定的函數。

10、為方便敘述，以下采用拉普拉斯算子應用的其中一個例子——熱傳導問題作為背景進行介紹：固定區域邊界上的溫度（是邊界上各點位置坐標的函數），直到區域內部熱傳導使溫度分布達到穩定，這個溫度分布場就是相應的狄利克雷問題的解。

11、　　拉普拉斯方程的諾伊曼邊界條件不直接給出區域D邊界處的溫度函數φ本身，而是φ沿D的邊界法向的導數。

12、從物理的角度看，這種邊界條件給出的是矢量場的勢分布在區域邊界處的已知效果（對熱傳導問題而言，這種效果便是邊界熱流密度）。

13、　　拉普拉斯方程的解稱為調和函數，此函數在方程成立的區域內是解析的。

14、任意兩個函數，如果它們都滿足拉普拉斯方程（或任意線性微分方程），這兩個函數之和（或任意形式的線性組合）同樣滿足前述方程。

15、這種非常有用的性質稱為疊加原理。

16、可以根據該原理將復雜問題的已知簡單特解組合起來，構造適用面更廣的通解。

17、　　在流場中的應用　　設u、v 分別為滿足定常、不可壓縮和無旋條件的流體速度場的x 和y 方向分量（這里僅考慮二維流場），那么不可壓縮條件為：　　無旋條件為：　　若定義一個標量函數ψ，使其微分滿足：　　那么不可壓縮條件便是上述微分式的可積條件。

18、積分的結果函數ψ稱為流函數，因為它在同一條流線上各點的值是相同的。

19、ψ的一階偏導為：　　無旋條件即令 ψ 滿足拉普拉斯方程。

20、ψ的共軛調和函數稱為速度勢。

21、 柯西-黎曼方程要求　　所以每一個解析函數都對應著平面內的一個定常不可壓縮無旋流場。

22、解析函數的實部為速度勢函數，虛部為流函數。

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